12: 2次ベジェ曲線を3次に変換する方法

2次ベジェ曲線は、3次でも同じものが作れるはずだが、その場合2つの制御点はどこなのだろう?
調べてみると既出だったが、自力で計算してみた。

 まず、2次ベジェ曲線の式と3次ベジェ曲線が等しい。

これを、tでくくってみる。

さらに、微分したものも等しい。
 

 1番目の式に、t=0.5を代入する。

変形すると、P1とP2の中点が、始点と終点の中点からPaを結ぶ線分上の、2/3 地点であることがわかった。
 
これだけではP1とP2が特定できないため、微分した式に対してもt=0.5を代入して式を整理していく。

ベクトルP1P2が、ベクトルP0P3の1/3 であることがわかった。
 よって、P1はP0とPaの2/3地点、P2はP3とPaの2/3地点となる。

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