複素数の累乗根

3次ベジエ曲線と直線の交点は、3次方程式を解ければ求められる。

3次方程式を解くには解の公式を使えばよさそう。 そのためには、複素数の累乗根を求められる必要があるらしい。 なので、まずC# で複素数を扱う方法を調べる。

http://msdn.microsoft.com/ja-jp/library/6fbs5e2h(VS.80).aspx このページを見つけた。

読んでみると、普通に複素数のクラスを作っていたようなので、まねる。

struct Complex
{
    public double real;
    public double imag;
    public Complex(double real, double imaginary)  //constructor
    {
        this.real = real;
        this.imag = imaginary;
    }
    //中略
}

加えて、 -, * の演算子もオーバーロードしておく。

public static Complex operator -(Complex c1, Complex c2)
{
    return new Complex(c1.real - c2.real, c1.imag - c2.imag);
}
public static Complex operator -(Complex c1)
{
    return new Complex(-c1.real, -c1.imag);
}
public static Complex operator *(Complex c1, Complex c2)
{
    return new Complex(c1.real * c2.real - c1.imag * c2.imag,
        c1.real * c2.imag + c1.imag * c2.real);
}

そして、累乗根の関数を作る

// n乗根
public static Complex[] proot(Complex c, int i) {
    Complex[] result = new Complex[i];
    double theta = Math.Atan2(c.imag, c.real);
    double r = Math.Sqrt(c.real*c.real + c.imag*c.imag);
    double r13 = Math.Pow(r, (1.0/i));
    for (int cnt = 0; cnt < i; cnt++) {
        result[cnt] = new Complex(
            (r13 * Math.Cos((theta + Math.PI * 2.0 * cnt) / i)),
            (r13 * Math.Sin((theta + Math.PI * 2.0 * cnt) / i)));
    }
    return result;
}

手順

  1. z = a + bi を、極形式にする。 -> z = r(cos θ + i sinθ) rは複素数の絶対値、θは偏角というものらしい。 r=√(a*a + b*b) θ=atan2(b, a)
  2. z^(1/3) = r^(1/3) * (cos θ + i sin θ)^(1/3)
  3. r の3乗根は Pow(r, 1.0/i) で求める。(3乗根なら i = 3)
  4. 後ろのほうは、ド・モアブルの定理で、 cos(θ/3) + i sin(θ/3) にする
  5. 角度を 2π ずつ加えながら繰り返し、 3乗根なら3つの解を得る。

参考文献:高校数学+α (p283-p291)http://www.h6.dion.ne.jp/~hsbook_a/

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